Os resultados aqui apresentado nesta comunicação estão diretamente ligados ao meu doutorado (ainda em desenvolvimento), supervisionado por Daniel Vendrúsculo (UFSCar) e Oscar Ocampo (UFBA). Esta ponte entre Teoria de Tranças e Grupos Cristalográficos é completamente novo na literatura, de acordo com Gonçalves, Guaschi e Ocampo em [3]. Vamos dividir esta apresentação em dois momentos: primeiro momento, iremos expor o estado da arte e resultados, recentemente alcançados, sobre grupos de tranças e grupos cristalográficos baseados em [3], [4] e [5]. Já no segundo momento, vamos trazer resultados obtidos no desenvolvimento de nossa tese. Aqui, vamos abordar o caso do grupo de tranças de superfícies orientáveis (de genus maior do que ou igual a um) finitamente perfurada [ver [1]] e, o caso, do plano projetivo finitamente perfurado[ver [2]]. Resultados como: caracterização dos elementos de ordem finita e, que um certo quociênte, do grupo de trança da superfície em questão, é um grupo cristalográfico.
[1] Bellingeri, P. On presentations of surface braid groups,Journal of Algebra 274, 543-563. 2014.
[2] Gonçalves, D and Guaschi L. J. The inclusion of configuration spaces of surfaces in Cartesian products, its induced homomorphism, and the virtual cohomological dimension of the braid groups of S2 and RP2 , Pacific Journal of Mathematics 287(1):71-99, 2017.
[3] Gonçalves, D. Guaschi L. J. and Ocampo, O. A quotient of the Artin braids groups related to crystallographic groups, Journal of Algebra 474, 393-423, 2017.
[4] Gonçalves, D. Guaschi L. J. and Ocampo, O. Almost-crystallographic groups as quotients of Artin braid groups, Journal of Algebra 524, 160-186, 2019.
[5] Gonçalves, D. Guaschi L. J. and Ocampo, O. Embeddings of finite groups in B n /Γ k (P n ) for k = 2, 3, Annales de l'Institut Fourier .
[6] Johnson, D. L. Presentations of groups, 2 ed. Cambridge University Press, Cambridge, 3, 4, 144, 169, 173.1997.
[7] Murasugi, K., and Kurpita, B. A study of braids, vol. 484 of Mathematics and its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, xxii, 3, 9, 14, 18, 52, 53. 1999.