A teoria geral de radicais foi sistematizada, no início da segunda metade do século XX, nos trabalhos de A. G Kurosh [1] e S. A. Amitsur [2]. Atuando independentemente, eles lançaram as bases do que se tornou uma nova teoria, transcendendo os limites da própria Álgebra. Desde então, a pesquisa em radicais e suas propriedades intrínsecas avança continuamente, tendo um período de intensa atividade na passagem do século, com aplicações a diversas áreas das matemáticas como Topologia, Análise, Combinatória, entre outras. A história da teoria retrocede porém ao início do século XX, quando J. H. M. Wedderburn [3] demonstrou que uma álgebra de dimensão finita sempre possui um ideal nilpotente maximal, sendo que seu quociente por esse ideal dá origem a uma álgebra isomorfa a uma soma direta de álgebras de matrizes. Todavia, em anéis quaisquer, nem sempre existe esse ideal nilpotente maximal ou, mesmo quando é possível determina-lo, a estrutura quociente resultante pode ser intrincada; tentando contornar essas dificuldades e a finitude da dimensão no resultado de Wedderburn, sugiram propostas identificando ideais específicos, chamados de radicais, que, de modo semelhante ao radical de Wedderburn, representam obstruções para que a estrutura possa ser decomposta de alguma forma em anéis mais tratáveis. O trabalho de S. Perlis [4] sobre quase-regularidade generalizou a noção de nilpotência, facilitando a compreensão do resultado geral de N. Jacobson [5]: em todo anel, existe um único ideal, com elementos quase-regulares, o radical de Jacobson, cujo anel quociente resultante é isomorfo a uma soma subdireta de anéis densos de transformações lineares entre espaços lineares sobre anéis de divisão. Nesta apresentação, pretendemos discutir a evolução dessa importante teoria e a possibilidade de aplicação a outras estruturas matemáticas, não apenas algébricas, como grupos, mas também topológicas e combinatórias. Faremos um esforço para utilizar um mínimo de conhecimentos avançados, nada além das estruturas fundamentais de grupos e anéis e algo de álgebra linear.
[1] A. G Kurosh, Radicals of rings and algebras, Mat. Sb 33(75) (1953) 13-26 (original em russo, há uma tradução em inglês em: Colloq. Mat. Soc. János Bolyai 6 (1971) 297-262).
[2] S. A. Amitsur, A general theory of radicals I, II, III, respec. in: Amer. J. Math 74 (1952) 774-786, 76 (1954) 100-125 e 76 (1954) 126-136.
[3] J. H. M. Wedderburn, On hypercomplex numbers, Proc. ondon Math. Soc. (2)6 (1908) 77-118.
[4] S. Perlis, A characterization of the radical of an algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 128-132.
[5] N. Jacobson, The radical and semi-simplicity for arbitrary rings, Amer. J. Math 67 (1945), 300-320.